Niektóre samochody jeżdżą na benzynę, inne na balon a ten jeździ na gumę. Wystarczy nawinąć gumę na ośkę, postawić na ziemi i puścić. Rusza ostro, "z kopyta", później nieco wolniej, wreszcie staje. Ale po równej powierzchni przejedzie nawet 10 metrów.

Samochód z napędem na gumę, bez tarcia, powinien poruszać się pewnego rodzaju ruchem przyspieszonym. Jakim ruchem przyspieszonym, dokładniej?
Początkowo, gdy guma jest nawinięta maksymalnie, również przyspieszenie jest maksymalne. Później to przyspieszenie maleje a kiedy guma rozwinie się całkowicie, samochód porusza się ruchem jednostajnym. Czyli: ruch przyspieszony, ale nie jednostajnie. Ciekawe, jakie równanie miałaby droga przebyta.

Siła powodująca przyspieszenie to siła rozciągniętej gumy. Guma jest nawinięta na oś o promieniu r₁, mniejszym niż promień kół r₂.
Zakładając, że do gumy stosuje się prawo Hooka, a masa kół jest pomijalnie mała (nie uwzględniamy energii ruchu obrotowego kół) przyspieszenie ma początkowo największą wartość,

(1)

gdzie s jest początkowym wydłużeniem gumy, a k jej współczynnikiem sprężystości. W miarę ruchu, guma się odwija: po przebyciu przez samochód drogi x(t) odwinie się o x(t)r₁/r₂. Przyspieszenie po czasie t maleje więc do

(2)

Nieskomplikowane, ale zawsze równanie różniczkowe. Rozwiązanie tak postawionego zagadnienia będzie postaci x(t)=At²+Bt+C+Dsin(ωt)+Ecos(ωt).
Współczynniki można znaleźć z warunków na a(t=0), x(t=0)=0, v(t=0)=0, ale obliczenia są żmudne.

Postawmy ten problem jeszcze raz: samochód porusza się pod wpływem rozciągniętej gumy. Gdyby była ona zaczepiona na stałe na osi, to po całkowitym rozwinięciu zaczęłaby się nawijać w drugą stronę, rozciągać ponownie i hamować ruch samochodzika. A potem znowu, w drugą stronę. Rodzaj ruchu wahadłowego?

Czy możemy zastosować do tego ruchu prawa ruchu wahadłowego, a może i nawet harmonicznego? Oczywiście że tak!
Nie ma wpływu na ruch samochodzika, czy guma jest zaczepiona od obracającej się osi, czy też na stałe to jakiegoś punktu w środku korytarza, po którym jeździ samochodzik. Z równania (1) wynika, że przyspieszenie jest proporcjonalne do odległości od punktu równowagi (czyli od miejsca na korytarzu, gdzie guma jest całkowicie rozwinięta).

1) Przyspieszenie ma znak przeciwny do położenia x' (teraz liczonego od punktu równowagi) i siła

(3)

czyli jest to ruch harmoniczny.

Położenia samochodzika (liczone od środka korytarza) zmienia się okresowo, sinusoidalnie z czasem

(4)

2) Guma jest jedynie nieco "słabsza", niż gdyby rozciągała się na korytarzu: przebytej odległości x odpowiada mniejsze wydłużenie gumy, y=(xr₁/r₂). Jest to równoważne mniejszemu współczynnikowi sprężystości k'=k r₁/r₂.

3) Tarcie powoduje zmniejszenie prędkości, co upodabnia ruch do wahań tłumionych. Zwróćmy jednak uwagę, że w ruchu harmonicznym tłumionym zakłada się siłę oporu proporcjonalną do prędkości, a dla samochodzika siła tarcia w pierwszym przybliżeniu nie zależy od prędkości.

4) Skończona masa kół powoduje, że przyspieszenie jest mniejsze niż wynikałoby ze wzoru, ale daje się to łatwo obliczyć. Pomocne są tu rozważania o zjeżdżalniach (małej i dużej).

Jednym słowem:
prosty samochodzik a bardzo ciekawy ruch, przypominający wahadło!

KS16