W dużym żółtym lejku, raz puszczona moneta lub kulka kręci się coraz szybciej, aż wpadnie do środka. Tak kiedyś stanie się z Ziemią, która spadnie na Słońce. Ale za dopiero za kilka miliardów lat.

Kulkę możemy puścić na wiele różnych sposobów - po okręgu lub skośnie. Zataczane orbity są krzywymi stożkowymi, jak trajektorie planet i komet w polu grawitacyjnym Słońca. Planety poruszają się po orbitach prawie kołowych, a komety po wydłużonych elipsach, czasem po parabolach (wtedy są to komety "jednorazowe").

JW Player goes here

Film A

Jeśli wypuścimy kulkę równolegle do krawędzi (Film A), będzie ona wirować zakreślając prawie doskonałą orbitę kołową, powoli ruchem spiralnym opada ku dołowi; można łatwo zauważyć jak prędkość kulki rośnie w miarę jak obniża się ona w lejku. Patrząc z góry jej ruch jest podobny do ruchu meteoru złapanego przez przyciąganie grawitacyjne planety.

Jeśli kulka jest wypuszczona w poprzek lejka (Film B) wtedy orbita jest eliptyczna (także i w tym przypadku kulka w końcu wpadnie do wnętrza lejka). W drugim przypadku ruch obserwowany z góry wykazuje pewne podobieństwo do ruchu planet dookoła Słońca: trajektoria jest eliptyczna (oś lejka odpowiada ognisku elipsy, tak jak w przypadku Słońca); ponadto prędkość rośnie w miarę jak kulka zbliża się do osi, dokładnie tak jak prędkość Ziemi rośnie podczas jej zbliżania się do Słońca.
JW Player goes here

Lejek w przekroju ma kształt hiperboli - im bliżej osi lejka tym ścianki stają się bardziej pionowe. Na krawędzi zewnętrznej ścianki są niemal poziome: kulka toczy się jak po stole. Im bliżej środka lejka, tym siła ściągająca do środka (składowa siły grawitacji niezrównoważona przez siłę reakcji podłoża, czyli lejka) jest większa. Podobnie jak siła grawitacji - rośnie z kwadratem "bliskości", czyli jak 1/r2.

Wcale nie tak łatwo puścić monetę po okręgu - do tego służy rampa, zamocowana na szczycie lejka. Jeśli spuścisz monetę ze szczytu rampy, jej prędkość będzie właściwa - ani za duża ani za mała.

Aby orbita była kołowa, prędkość początkowa musi spełniać określony warunek - ten który Johann Kepler wyznaczył dla planet: im planeta dalej od Słońca, tym się wolniej kręci. Dokładniej: kwadraty okresów obiegu mają się do siebie jak trzecie potęgi ich odległości: T2/r3 = const

Wyprowadza się to łatwo (dla orbit kołowych), ze wzoru na siłę grawitacji GMm/r2 i siłę odśrodkową mv2/r

GMm/r2 = mv2/r, czyli GM = v2r a ponieważ v = 2pr/T mamy r3/T2 = GM/4p2 = const

Dla innych lejków profil powierzchni różni się od hiperbolicznego. Ruch kulki ma podobne cechy jak dla "lejka grawitacyjnego" - kulka przyspiesza w miarę zbliżania się do centrum. W żadnym jednak przypadku orbity nie są (zamkniętymi) elipsami. Zamknięte elipsy otrzymuje się z rozwiązania równań ruchu tylko w przypadku pola grawitacyjnego (1/r2) - pomyśl, jak zmieniałby się klimat na Ziemi, gdyby peryhelium i aphelium przypadały coraz to o innej porze roku.

Jak pokazał Einstein w 1915 roku, krzywizna czasoprzestrzeni, wywołana przez silne pole grawitacyjne (np. Słońca) powoduje, że położenie osi elips podlega powolnemu obrotowi, w kierunku obrotu planety wokół Słońca. Dla Merkurego obrót tych osi wynosi 43'' na stulecie [1].

Pokazanie, że orbity w polu grawitacyjnym są eliptyczne, wcale nie jest trywialne, nawet dla większości studentów fizyki.

Rozumowanie wychodzi z równań na prędkość radialną i kątową, zasady zachowania energii i momentu pędu. Po karkołomnych przekształceniach i całkowaniach otrzymuje się równanie

które wbrew pozorom jest parametrycznym równaniem elipsy, tak jak równanie f = arccos (x/r) jest (niby) parametrycznym równaniem okręgu.

Jak wszystko zrozumiałeś, kliknij tu

JW Player goes here

Lejek grawitacyjny - lotnisko Standsted, Londyn

[1] A. Einstein, Erklärung der Perihelbewegung de Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie, Sitzber. Preuss. Akad. d. Wiss. 1915, str. 831

Patrz także: inne zabawki, pojęcia i zjawiska związane:
Grawitacja: Lejki nie-grawitacyjne | Mała zjeżdżalnia | Pingwiny Zosi | Wańka-wstańka

KS16