Równania Keplera dla orbit eliptycznych

Pole grawitacyjne jest polem „zachowawczym” – suma energii potencjalnej i kinetycznej ciała, o ile nie działają inne siły, pozostaje stała

(1)

Wprowadzając współrzędne polarne (r, φ) , składowa radialna prędkości wynosi

(2 )

a składowa kątowa

(3 )

gdzie r jest „promieniem wodzącym” planety a α kątem między wektorem prędkości a prostopadłą do promienia wodzącego

We współrzędnych polarnych prawo zachowania energii przyjmuje postać:

(4 )

Prawo zachowania momentu pędu określa stałość iloczynu wektorowego

r x p = const, co we współrzędnych polarnych

(5)

a uwzględniając (3)

(6)

skąd otrzymujemy

(7)

podstawiając powyższe wyrażenie do prawa zachowania energii (4) otrzymujemy

(8 )

Po przekształceniach

(9 )

(10 )

Podstawiamy teraz wyrażenie (10) do równania (7)

(11)

czyli

(12 )

gdzie dokonaliśmy podstawień

( 13 )

Całkując (przez części) równanie (12 ) otrzymujemy

(14 )

Równanie (12) jest równaniem elipsy, o czym można się przekonać dokonując podstawienia

czyli

( 15 )

Równanie powyższe jest równaniem (parametrycznym) elipsy o dłuższej półosi a i krótszej b.

POTENCJAŁ EFEKTYWNY

Ogólnie, trajektorie w polu grawitacyjnym są krzywymi stożkowymi – okręgiem, elipsą, parabolą, hiperbolą, w zależności od prędkości ciała (komety, planety)

Na poruszające się ciało w polu grawitacyjnym działa siła przyciągania plus siła (pozorna) odśrodkowa

( 16 )

podstawiając z równania (7) dφ/dr otrzymujemy

( 17 )

a całkując to wyrażenie po dr

dostajemy następujące wyrażenie na potencjał (efektywny) oddziaływania

( 18 )

Wykres tego potencjału przedstawia poniższy rysunek

Pojęcie potencjału efektywnego wyjaśnia, kształt orbit. Jeśli planeta ma energię całkowitą odpowiadającą minimum potencjału, to jej odległość od Słońca jest stała (ruch po okręgu). Jeśli energia jest nieco wyższa, to odległość się zmienia, między minimum aphelium a maksimum peryhelium (czyli jest eliptyczna). Jeśli energia wynosi zero (czyli ciało nadlatuje z „nieskończoności”, jak komety z obłoku Oorta), to orbita jest paraboliczna, jeśli jest większa niż zero, to hiperboliczna.

powrót