Eryk Rajch, Grzegorz Karwasz

1. Wszyscy zapewne potrafią grać na kieliszkach    - wodząc palcem zamoczonym w wodzie po jego górnej krawędzi. Przy odrobinie cierpliwości można "zmusić" do gry zwykłe (cienkościenne) szklanki czy półmiski z pyrexu (te trzeba przytrzymywać z góry za podstawę lub, lepiej, przykleić na stałe do jakiejś płaskiej podstawki). Nie wszyscy natomiast wiedzą, że Benjamin Franklin, między wynalazkiem kondensatora płaskiego a pisaniem konstytucji USA skonstruował również "glass-harmonikę" - układ kieliszków o różnych średnicach umieszczonych na jednym wałku, obracanym za pomocą pedału. Kieliszki w dolnej części zanurzone były w wodzie a grało się dotykając palcem ich krawędzi. Muzykę na ten niezwykły instrument pisali nawet Mozart i Beethoven. Później szklan-harmonika popadła w niełaskę - podobno jej muzyka powodowała zaburzenia nerwowe u słuchaczy.

Rys.1. Fala dźwiękowa wytwarzana przez pocieranie górnej krawędzi "szampanówki" - kształt prawie doskonałej sinusosidy wskazuje na zasadniczo jedną składową w widmie częstotliwości (1020 Hz).

2. Fala dźwiękowa wytawrzana przez kieliszki jest "piękną" sinusoidą (rys.1), co oznacza, że w je widmie częstotliwości występuje zasadniczo tylko jedna składowa . Analiza wysokości dźwięków emitowanych przez różne kieliszki - szampanówki 1010 Hz, koniakówki 900 Hz   , do win wytrawnych 920 Hz   , do piwa 1545 Hz   , wskazuje na zbliżone wartości częstotliwości, około 1 kHz - dość przenikliwe "piszczenie", odpowiadające wysokiemu (trójkreślnemu) do³ (w terminologii naukowej natomiast C₆) (rys. 2a). Prędkość rozchodzenia się fal podłużnych w szkle (typu pyrex) wynosi około 5640 m/s, dlatego stojąca fala podłużna o najniższej częstotliwości w pręcie szklanym o długości 30 cm (czyli na obwodzie dużego kieliszka) miałaby częstotliwość około 10 kHz - prawie w zakresie ultradźwięków, dwa razy wyżej niż najwyższa nuta fortepianu. Muzyka kieliszka nie jest więc drganiem podłużnym - lecz poprzecznym. Innymi słowy, kieliszek ulega "spłaszczeniu" w jednym kierunku i wydłużeniu w kierunku prostopadłym. Podobnie drgają dzwony kościelne.

Rys. 2. Widmo częstotliwości grającej koniakówki (oś OX obejmuje zakres od 0 do 7046 Hz). a) bez wody - dominuje częstotliwość 900 Hz (nieco wyżej niż "la5) , wyższe harmoniczne (druga 1800 Hz) są słabo widoczne. b) z wodą - częstotliwość podstawowa się obniża (875 Hz), wyższe harmoniczne (tu pokazana czwarta - 3500 Hz) rosną. Tłumienie drgań wywołane obecnością wody powoduje poszerzenie piku rezonansowego wokół częstotliwości podstawowej dwukreślne" = A.

3. Drgania poprzeczne łatwo uwidocznić nalewając do dużego kieliszka wody, mniej więcej tyle, ile zrobiłby to zręczny kelner - nie za dużo (zbyt duża ilość wody utrudnia wzbudzenie drgań, zbyt mała nie uwidacznia efektu). Po wzbudzeniu dźwięku wydaje się, że woda wrze w czterech rogach kwadratu wewnątrz kieliszka (fot.3). Ten typ drgań polega na "rozciąganiu" kieliszka w jednym kierunku i jego "zgniataniu" w kierunku prostopadłym. O ile teoretycznie można wyobrazić sobie jeszcze niższe harmoniczne - w którym występują tylko jedna, lub tylko dwie strzałki, to nie występują one praktycznie. Drgania takie wymagałyby zgniatania i rozciągania szkła (moduł sprężystości na zgniatanie jest bardzo duży, 200-320 10⁸ Pa, w porównaniu z modułami na rozciąganie lub zginanie 0,3-0,9 10⁸ Pa). Zanim kieliszek zacznie "pięknie" grać, wytwarza on również dźwięki o niższych częstotliwościach. A woda w grającym kieliszku, oprócz obrazu stacjonarnych drgań poprzecznych, jest pomarszczona szeregiem "własnych" fal.

Fot. 3. W kieliszku wypełnionym wodą, po wzbudzeniu częstotliwości rezonansowej, pojawiają się najpierw fale wędrujące za palcem po powierzchni wody, przy większej amplitudzie woda zaczyna "wrzeć" w 4 wierzchołkach kwadratu.

4. Drgania, poprzeczne z natury - jak powiedzieliśmy, są niebezpieczne dla kieliszka. Ich amplituda jest całkiem spora, rzędu dziesiątych części milimetra - co łatwo sprawdzić dotykając z boku drgającego kieliszka. Nie dziwi więc, że głos wprawnego śpiewaka (o natężeniu nawet do 100 dB), w rezonansie z kieliszkiem, może doprowadzić do katastrofy.

5. Nalanie wody powoduje obniżenie wysokości emitowanych dźwięków, zob. Rys.2b - zgodnie z prawem, że częstotliwość drgań oscylatora harmonicznego, a właściwie kwadrat tej częstotliwości jest odwrotnie proporcjonalny do drgającej masy. W kieliszku z wodą "efektywna" masa ścianek kieliszka wzrasta - część energii drgań jest przekazywana cieczy, częstotliwość dźwięku maleje. Dodatkowo, nalana woda jest w pewnym sensie ośrodkiem tłumiącym drgania - pogarsza się tzw. "dobroć" rezonatora - maksimum częstotliwości rezonansowej ulega poszerzeniu, por. rys. 2b. Pytanie: czy ktoś jest w stanie rozróżnić, czy drgająca ciecz to woda, czy jakaś inna, o niższej gęstości (dobry koniak)?

Fot. 4. Podobną falę stojącą można wytworzyć w misce z wodą (tu specjalna miska z brązu ze zbiorów dydaktycznych (Educational Innovations). W zależności od sposobu wzbudzenia obserwuje się cztery "rogi" fontanny lub sześć.

6. Identyczne do drgań kieliszka są drgania "zabytkowej chińskiej wazy" z brązu (200$, Educational Innovations lub ze złota 2000$). Pocierając rączki wazy dłońmi dobrze namoczonymi, po wzbudzeniu fali stojącej (ok. 130 Hz), woda wytryska w rogach kwadratu jak w fontannie, fot.4a. Pocierając energiczniej, nieco ukośnie, możliwe jest wzbudzenie wyższej harmonicznej, z sześcioma punktami fontanny, fot. 4b.

Rys. 5. Dźwięk powstający w misce z wodą zależy do sposobu wzbudzenia

Rys. 6. Przy przesuwaniu palca po krawędzi kieliszka, pojawiają się dudnienia - narastanie i słabnięcie dźwięku.

7. Dokładniejsze przyjrzenie się widmu częstotliwości kieliszka pokazuje, że i dla szkła wyższe harmoniczne (nawet do 4-tej) są widoczne, szczególnie w kieliszku wypełnionym wodą, rys. 2b. W misce z wodą też jest mnóstwo wyższych harmonicznych. W kieliszku, przesuwanie palca po obwodzie powoduje, że fala nie jest "dokładnie" stojąca, ale niejako wędruje za palcem. Ponieważ kieliszek nie jest nigdy dokładnie symetryczny, fala jest powoli modulowana przez taki przesuw palca - pojawiają się wyraźne dudnienia dźwięku   , rys. 6. W analizie Fouriera dudnienia takie oznaczają pojawienie się drugiej częstotliwości, bardzo zbliżonej do częstotliwości podstawowej.

8. A co obłędem jaki powodowała "glass-harmonika"? Może był on spowodowany z jednej strony wspomnianymi "dudnieniami", a drugiej strony obecnością wysokich, prawie ultradźwiękowych częstotliwości - z grubsza zgodnych z częstotliwościami drgań podłużnych (zob. widmo na rys. 7).

Rys. 7. Widmo dźwięku kieliszka, uśrednione po dłuższym czasie, wyraźnie wskazuje na obecność bardzo wysokich (aż do ultradźwięków) częstotliwości - przyczyna obłędu przy słuchaniu muzyki glass-harmoniki?

9. Zauważmy na koniec, że sinusoida drgań poprzecznych ścian kieliszka przypomina stojącą falę de Broglie'a elektronu na stacjonarnej orbicie Bohra w atomie wodoru. Lub dokładniej: najniższy ton miski lub kieliszka to fala deBroglie'a na drugiej orbicie.

10. Zapraszamy więc do doświadczeń przy sylwestrowym stole - bo kieliszek szampana może dostarczy sporo wrażeń. Nie tylko muzycznych!

Opiekun Strony: Krzysztof Służewski