Fizyka dla każdego

m₁=2m₂

Wózek m₂ spoczywa, cięższy wózek m₁ w niego uderza

Jak widzicie, wózek uderzający kontynuuje swój ruch. Aby znaleźć prędkość obu wózków po zderzeniu, już nie wystarczy tylko prawo zachowania pędu m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁’+ m₂v₂’, gdzie prędkości zapisaliśmy czcionką pogrubioną dla przypomnienia, że musimy uwzględniać kierunek ruchu wózków. 

Nieznane są prędkości obu wózków po zderzeniu – potrzebne są więc dwa równania. Drugim równaniem jest równanie zachowania energii, odkryte przez Christiana Hyugensa

"Dans le cas de deux corps qui se rencontrent, ce que l'on obtient en prenant la somme de leurs grandeurs multipliée par les carrés de leur vitesse sera trouvé égal avant et après la rencontre", De motu corporum ex percussione [archive], Oeuvres complètes de Christian Huygens, Société Hollandaise des sciences, tome XVI, p.72

W przypadku gdy dwa ciała się zderzają, to co otrzymujemy biorąc sumę ich wielkości [tj. mas] przemnożoną przez kwadrat ich prędkości będzie równe przed i po ich zderzeniu [=prawo zachowania energii]
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9ories_scientifiques_de_Descartes

Zapiszmy stosowne równania, pamiętając że v₂= 0 i przyjmując v₁ = v
Nie wiedząc, w którą stronę będzie się poruszał który wózek po zderzeniu, przyjmujmy prędkość w prawo jako dodatnią. Mamy więc

(1)         m₁v= m₁V₁ + m₂V₂         (prawo zachowania pędu)

(2)         ½ (m₁v²) = ½ (m₁V₁²) +  ½ (m₂V₂²)    (prawo zachowania energii kinetycznej)

Dokonajmy postawienia m₁=2m₂ tak, aby móc uprościć m₂ z obu równań

(1’)         2m₂v= 2m₂V₁ + m₂V₂ 

(2’)         2m₂v₂² = 2m₂V₁² + m₂V₂² 

Wyznaczając V₂ z pierwszego równania 

V₂ = 2v -  2V₁ = 2(v-V₁)                    (3)

i podstawiając do równania (2’) otrzymujemy   

2v² =  2V₁²   +  4(v-V₁)² 
        
Po rozwinięciu wyrażenia w nawiasie i uproszczeniu dostajemy następujące równanie kwadratowe

        3V₁²  - 4 vV₁ + v₂ = 0 

Równanie to ma dwa rozwiązania V₁= v/3  (uderzający wózek porusza się w tym samym kierunku ale wolniej)   lub    V₁= v (czyli do zderzenia nie doszło).

Tym dwóm przypadkom odpowiadają wartości V₂= 4v/3  lub  V₂=0

Odp: Po zderzeniu prędkości wózków wynoszą V₁ = v/3  i V₂=4v/3.

Widzimy to na filmie: po zderzeniu pierwszy wózek porusza się znacznie wolniej niż wózek uderzony.     

Wstecz